高中数学三角函数的研究论文

题目：生活与数学提纲：1、提出论点：数学给我们带来的方便和数学的作用2、我们每天离不开数学的原因3、举例说明：三角函数的用处，4例说明：几何的用处5总结（仅供参考）

研究性学习：“数学在生活中的应用”结题报告 上传: 金景 更新时间：2012-5-17 9:06:35 研究性学习：“数学在生活中的应用”结题报告一、课题研究背景：数学是一门很有用的学科。自从人类出现在地球上那天起，人们便在认识世界、改造世界的同时对数学有了逐渐深刻的了解。早在远古时代，就有原始人“涉猎计数”与“结绳记事”等种种传说。可见，在早期一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽。在bc3000年左右巴比伦和埃及数学出现以前，人类在数学上没有取得更多的进展，而在bc600—bc300年间古希腊学者登场后，数学便开始作为一名有组织的、独立的和理性的学科登上了人类发展史的大舞台。如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解直角三角形有关知识的应用。由此可见，古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。 二、课题研究目的和意义：1.感受数学，体会数学的价值。“数学在生活中的应用”的研究性学习让同学收集和开发自己生活中的素材，感受数学与我们现实生活的密切关系，让大家感受生活与数学同在，来体验数学自身价值。2．领悟数学，思想升华。“数学在生活中的应用”的研究性学习让学生经历知识的再创造，体验知识的形成过程，形成自身有效的知识，使自己的思想得到进一步的升华。3．会用数学。“数学在生活中的应用”的研究性学习让自己学会应用数学，达到直接为社会创造价值的最终目的。 三、研究过程1．成立课题小组（第一学期第12周）。2．开题（第一学期第13周）。组织学生做好开题报告，介绍本课题的选题背景、立意、课题论证和实施计划。3．研究。（第一学期第14周至第二学期第15周）在老师的启发引导下，本课题小组同学积极参与，利用课余、课外时间，通过数学课本、化学资料等对“数学在生活中的应用”课题进行探索、研究和计算，还有部分同学对研究成果通过实验来验证，体现了大家严谨的科学态度。在老师的指导下，将有关“数学在生活中的应用”的研究成果和心得体会写成小论文。 四、课题：“数学在生活中的应用”的研究成果小论文：不等式、数列、函数在生活中的应用（见附件1） 五、心得体会通过这次研究性学习我们学会了很多东西，也懂得了很多。以前学数学一般是理论性的比较多，缺乏与实际的联系，学了不知道怎么用。这次研究性学习的最大所得，不在于取得什么成果，而是培养一种思维习惯，一种将现实生活中的现象转化为问题并进行研究的习惯。当我们在黑板上写字，用力过大而将粉笔折断时，是否想到了粉笔多长才是最优化长度；又当我们去打电话时，是否能够联想到这类似于“函数模型”，从而求出电话费与时间的函数。甚至当我们玩游戏时，能否用离散和概率的思想。不禁一笑后，你会发现，其实这些问题都来自于我们的生活，但是它们的复合与延伸，就可能涉及到今日科学的前沿。 另外感觉自己的知识面还是不够宽，例如老师给了很多有价值的问题，由于我们知识浅薄，最终我们选择了“函数、不等式、数列在生活中的应用”等进行探索、研究。对问题数据计算还可以，但对计出的数据找规律时，就遇到了困难，老师给我们作了指导。在如果平时学习时，多注意理论与实践的结合，学以致用，做起研究性学习就更能得心手。 研究性学习毕竟是个集体项目，它不仅培养了我们的合作精神，而且也培养了大家的团结友爱，互助协作的精神。所以组成小组后，我们组就常常在一起讨论题目，等到讨论成熟后，就进行计算研究。俗话说，三个臭皮匠顶个诸葛亮。大家在一起如果做出一些东西来，就会有一种成就感，这也是 研究性学习带给我们的乐趣所在。研究性学习培养的是一种创新精神，以及快速解决问题的能力。参加研究性学习小组，也给了我们一次简单的科学研究工作的体验。科学工作所需要的严谨，大胆都在这样活动中有着完整的体现。使我们体会到了科研工作的艰辛，这些将对我们今后的学习与工作产生积极的作用和深远的影响。

Easy to overlook the answer"Fact is stranger than fiction, we also have many interesting mathematical kingdom. For example, in the ninth book, I now have a problem in the workbook, education, said: "this is a passenger train to the west, the east from 45 kilometers per hour line, stop, then after hours just what the halfway point of the two cities from 18 km, two things WangXing? How many kilometres from town with the small English in this problem, the calculation method and the results are not the same. XingSuan king of the number of kilometers than small calculates km less, but the results of the two to say. This is why? You want to come? You count them two listed in the results." Actually, this problem is we can very quickly made a kind of method is: 45 x = (km), + 18 = (km), * 2 = 261 (km), but look close scrutiny, he felt something was wrong. Actually, here we overlooked a very important conditions, "this is just what the halfway point of the city from the conditions of 18 kilometers away from" the word ", not to say, or more than halfway point. If it is not from the middle point to 18 kilometre, column type is the front, if is a kind of more than 18 kilometers halfway, column type should is 45 by = (km), = (km), x 2 = 189 (km). So the correct answer is: 45 x = (km), + 18 = (km), * 2 = 261 (km) and 45 x = (km), = (km), x 2 = 189 (km). Two answers, . WangXing answers with the small English answer is the daily learning, often have many problems, aim to answer is more in practice or neglected in the exam, we need to carefully examines the topic is, life experience, close scrutiny, correct understanding of cet4. Otherwise easily overlooked the mistake, the "0"0, it is the earliest human contact number. Our ancestors started only know no and have no is 0, 0, so did? Remember the elementary school teacher once said, "any number of minus itself is equal to 0, 0 means without number." That is simply not true. We all know that the 0 degrees centigrade thermometer said the freezing point of water (. a standard under the pressure of the mixture of water temperature), including 0 is solid and liquid water differentiator. But in Chinese characters, 0 means that a zero, such as: 1 more pieces), Decimal purpose. 2) not certain units... Thus, we know that the "no amount is 0, but not without number, 0 solid and liquid said the differentiator, etc.""Any divided by 0." no significance for This is the primary school teacher still talking to a conclusion about the "0", then the division (primary) is divided into several copies will be a, how much each. A whole cannot into a "0" no significance. Then I realized the a / 0 0 0 to limit can be expressed in the variable (a variable in the process of changing its absolute than any small forever is positive), shall be equal to a variable in the infinite (changes in its absolute than any big is positive). Get a theorem about 0 "zero limits of variables, called an infinitesimal".

正余弦定理若干推论的探究与应用（一）探究目的正弦定理和余弦定理是高中数学中重要的三角公式，它们具有广泛的应用。而在教材中对它们的研究却比较单一。在学习上，为了开拓视野，更加体会到数学灵活多变的奥妙，我们有必要结合三角变换的知识对其进行总结、探究及延伸。因此，我们探究了它的一些变式以及应用。（二）探究过程、应用及结论 （1）正余弦定理 1、正弦定理：a/ sinA＝b/ sinB＝c/ sinC =2R 2、余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCosA CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc b^2=a^2+c^2-2acCosB CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac c^2=a^2+b^2-2abCosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab（2）正余弦定理的推论 设三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则 推论1、acosA+bcosB = ccos(A-B)≤C．．．．．．① bcosB+ccosC = acos(B-C) ≤ a．．．．．．② acosA+ccosC = bcos(A-C) ≤b．．．．．．③ 证明：由正弦定理得， acosA+bcosB =2RsinAcosA+2RsinBcosB =R(2sinAcosA+2sinBcosB) =R(sin2A+sin2B) =R{sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]} =R[sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos (A+B)sin(A-B)] =2Rsin(A+B) cos(A-B) =2Rsin(�-C) cos(A-B) =2RsinC cos(A-B) =Ccos(A-B) 又A、B∈（0，�）,-1≤cos(A-B) ≤1 ∴ccos(A-B)≤C,当且仅当A=B时取等号. 同理,由三角形三边和三个角的对称性可证②③式. 应用:在⊿ABC中,求证:cosAcosBcosC ≤1/8 证明：①当⊿ABC为钝角三角形或直角三角形时，cosA、cosB、cosC其中必有一个小于等于0，故结论成立. ②若⊿ABC为锐角三角形时,由推论(1)及均值不等式得 a≥bcosB+ccosC≥2倍根号bcosBccosC＞0．．．．．．① b≥acosA+ccosC≥2倍根号acosAccosC＞0．．．．．．② C≥acosA+bcosB≥2倍根号acosAbcosB＞0．．．．．．③ ①×②×③得abC≥8abCcosAcosBcosC ∴cosAcosBcosC≤1/8 结论：①在三角形中，任意两边与其对角的余弦值的和等于第三边与两 边的对角差的余弦的积，小于或等于第三边。 ②三角形三个角的余弦值的积恒小于或等于1/8. ③观察式子，我们可以得出 a、若已知三角形中的两角以及对应两边，可知第三边的取值范围或最小值。 b、若已知三角形中的两角，可知三边之间的数量关系。 推论2、c/(a+b)=sin(C/2)/cos[(A-B)/2] ≥sin(C/2) ．．．．．．① b/(a+c)=sin(B/2)/cos[(A-C)/2] ≥sin(B/2) ．．．．．．② a/(b+c)=sin(A/2)/cos[(B-C)/2] ≥sin(A/2) ．．．．．．③ 证明：由正弦定理， c/(a+b)=（2RsinC）/[2R(sinA+sinB)] =sin(�-c)/(sinA+sinB) =sin(A+B)/ (sinA+sinB) =sin[(A+B)/2+(A+B)/2]/{sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+ sin[(A+B)/2-(A-B)/2]} ={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{ sin[(A+B)/2]cos[(A- B)/2]+sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]+sin[(A+B)/2]cos [(A-B)/2]—sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]} ={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{2sin[(A+B)/2]cos[(A- B)/2]} =cos[(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2] =sin[�/2—(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2] =sin(C/2)/cos[(A-B)/2] 又A、B∈（0，�） ∴ 0＜cos[(A-B)/2] ≤1 ∴sin(C/2)/ cos[(A-B)/2]≥sin(C/2), 当且仅当A=B时取等号. 同理可证②③式.应用：已知在⊿ABC中，设a+c=2b，A-C=60度，求sinB.解：由题设和推论2可知， b/(a+c)=b/2b=1/2=sin(B/2)/[cos(A-C)/2]=sin(B/2)/cos(�/6) ∴sin(B/2)=（根号3）/4 ∴cos(B/2)=根号(1-sin(B/2)^2)= （根号13）/4 ∴sinB=2 sin(B/2) cos(B/2)= （根号39）/2 结论：①在三角形中，任意一边与另外两边和的比值，等于该边的 半对角的正弦与另两边的对角差半角的余弦，这是模尔外得公 式的其中一组。 ②应用： a、求解斜三角形未知元素后，可用它验算。 b、若已知三边可求角的最大值。 推论3、a≥2(根号bC)sin(A/2) ．．．．．．① b≥2(根号aC)sin(B/2) ．．．．．．② c≥2(根号ab)sin(C/2) ．．．．．．③ 证明：∵(b-c)^2≥0 ∴b^2+c^2≥2bc 由余弦定理，a^2= b^2+c^2-2bccosA≥2bc-2bccosA =2bc(1-cosA)=4bcsin(A/2)^2 ∴a≥2(根号bC)sin(A/2), 同理可证②③式. 应用：在⊿ABC中，已知A=�/3，a=10，求bC的最大值。 解：由题设和推论3可知，10≥2(根号bC)sin(60度/2) ∴（根号bC）≤10 ∴bC≤100 故bC的最大值为100. 结论：①在三角形中，任意一边大于或等于另外两边二次方根的二倍与 该边的半对角正弦的积。 ②应用： a、已知两边和一角可求该角所对边的取值范围或最小值。 b、已知一边以及其对角可求另两边乘积的最大值。 C、已知三边可求角的最大值。 推论4、（a^2- b^2）/ c^2= (sinA^2-sinB^2)/ sinC^2……① （b^2- c^2）/ a^2= (sinB^2-sinC^2)/ sinA^2……② （a^2- c^2）/ b^2= (sinA^2-sinC^2)/ sinB^2……③ 证明：由正弦定理得， （a^2- b^2）/ c^2=[4R^2（sinA^2-sinB^2)]/（ 4R^2*sinC^2） =(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2 同理可证②③式. 应用：在⊿ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，证明： （a^2- b^2）/ c^2=sin（A-B）/sinC 证明：由题设和推论4可知， （a^2- b^2）/ c^2 =(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2 =（sinA+sinB）（sinA-sinB）/sinC^2 ={sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}{sin[(A+B)/2+ (A-B)/2]—sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}/{sinCsin[�—（A+B)]} ={2sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]}{2cos[(A+B)/2]sin[(A- B)/2]}/[sinCsin(A+B)] ={2sin[(A+B)/2] cos[(A+B)/2]}{2sin[(A—B)/2] cos[(A- B)/2]}/[sinCsin(A+B)] =[sin(A+B)sin(A—B)]/ [sin(A+B) sinC] =sin(A—B)/ sinC 结论：①在三角形中，任意两边的平方差与第三边的平方之比等于 两边对角正弦的平方差与第三边对角的正弦的平方之比。 推论5、sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA……① sinB^2= sinA^2+sinC^2-2sinAsinCcosB……② sinC^2= sinB^2+sinA^2-2sinBsinAcosC……③ 证明：由正弦定理和余弦定理得， （2RsinA）^2=（2RsinB）^2+（2RsinC）^2-2（2RsinA （2RsinB）cosA 化简得sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA 同理可证②③式. 应用：求（sin10度）^2+(sin50度)^2+sin10度sin50度的值. 解:构造⊿ABC，使A=10度，B=50度，C=120度，应用推论5得 原式=（sin10度）^2+(sin50度)^2-（-1/2）×2sin10度sin50 度 =（sin10度）^2+(sin50度)^2-2sin10度sin50度cos120度 =（sin120度）^2 =3/4 结论：①在三角形中，任意角正弦的平方等于另外两角正弦的平方 和减去2倍两角正弦与该角余弦的积。 ②应用： a、若已知任意两角角度或正弦，可求另外一角余弦及角度。 b、若式子（sinA）^2+(sinB)^2+sinAsinB满足A+B=�/3，则 其值恒为3/4. C、若存在形如sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA的式子，其值为 sinA^2. 推论6、a=bcosC+ccosB……① b=acosC+ccosA……② c=acosB+bcosA……③ 证明：由余弦定理得， b^2+c^2=(c^2+a^2-2accosB)+(a^2+b^2-2abcosC) 化简得a=bcosC+ccosB 同理可证②③式成立. 应用：已知�、�∈（0，�/2），且3（sin�）^2+2（sin�）^2=1， 3sin2�-2Sin2�=0，求证：�+2�=90度. 证明：∵3（sin�）^2+2（sin�）^2=1 ∴3（1-cos2�）/2+2（1- cos2�）/2=1 ∴3cos2�+2 cos2�=3 ∴2cos2�=3（1- cos2�）＞0 ∴3 cos2�=3-2 cos2�＞0 ∴2�、2�∈（0，�/2） 又3sin2�-2Sin2�=0 ∴3/Sin2�=2/sin2� 构造⊿ABC，使A=2�，B=2�,BC=2,则AC=3 由推论6得，AB=ACcos2�+BCcos2� = 3cos2�+2cos2�=3 ∴AB=AC ∴⊿ABC为等腰三角形. ∴C=B=2� 而在⊿ABC中，A+B+C=2�+2�+2�=180度 ∴�+2�=90度 结论：①推论6为著名的射影定理。 ②应用：可处理边、角、弦三者的转化问题。