初中代数概念教学的实践研究论文

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生活中的数学 其实我们生活中处处都有数学，比如说奇妙的圆圆是生活中最常见的图形，人们几乎无处不在应用圆。在车上，在路上，在家里，甚至在空中，你总是能见到圆的踪迹。圆有一个很大的好处，就是它们没有棱角。汽车为什么可以使汽车运行得快速，而又使坐在车里的人感到不颠簸？就是因为汽车的轮子是圆的。你在玩保龄球的时候，为什么保龄球是球体而不是正方体或长方体的？就是因为球体与地面的摩擦力最小，速度慢下来的时间最长，且速度并不容易改变。正因为没有棱角，人们才把圆形和球体称之为最美观的平面图形和最美观的立体图形。圆是公认的最经济的图形。大家都知道，周长相同时，圆的面积比其他任何形状都要大。依据这个道理，人们设计出了圆形的窨井盖，因为圆形的窨井盖在与地面垂直放在窨井上时，不会像正方形或长方形窨井盖那样掉进窨井里，而是稳稳地卡在上面。这么可爱的图形，怎么能不受到人们的青睐呢？除了圆，还有一些和圆相关的，诸如圆柱体和球体之类的立体图形也有着举足轻重的作用呢！在材料面积相同的情况下，圆柱体的容积是最大的，同样，它的支撑力也是最大的。树干，竹子，水桶等东西，无不应用了圆柱体。 还有小数点，数学，在我们生活中无处不在。高斯求积、植树问题……这一个个奇妙的数学定律令我们惊奇。下面让我们去寻找奇妙的数字之旅吧！ 小数点不论在体重、价格上无处不有。无处不在它向右移动代表扩大，向左移动代表缩小，这个神奇的小数点揭开了我们今天的数字之旅。 在我们测量和计算中有时得不到整数，小数点就在这里登场了。小数点拥有巨大的“权利”它右边是小数部分，左边是整数部分。它在数字界拥有很大的威望，因为：它的移动就改变了数字的大小。它有两种方法改变数字的大小：1、数字调换位置，2、移动小数点。 在生活中，小数点变化多端一转身变成了单名数，一转身变成了复名数，小数点不仅移动小数点来改变数字的大小，还用乘除法改变数字的大小，乘表示向右移动，移动一位扩大10倍；除表示向左移动，移动一位缩小10倍。 小数点真神奇，在生活中还有很多神奇的定律，让我们一起探寻吧！

引 论代数学是数学的一个基本分支，是其他数学分支的基础。它所处理和研究的数学对象是抽象的代数符号与概念，如整数.有理数.多项式.理想等。计算机代数是以计算机为工具处理研究代数对象的一门新兴科学。它是符号计算的一个主要分支。代数算法的设计.分析.实现及应用构成了计算机代数的主要研究内容代数计算冗长繁复。常常让人望而生畏。传统的笔纸演算耗时费力又易出错，因而不可能用于大规模的计算。现代计算技术为大型符号计算提供了条件。于是如何将基本代数理论算法化.精确化.效率化，如何将有效的算法在计算机上有小弟实施，建立完整易用的软件系统，并用来处理形形色色的代数计算就是需要研究的问题。对这些问题的研究便形成了计算机代数这门科学。本综合报告的内容将就这门学科的多项式部分进行简单的研究与分析，Maple软件的介绍及在多项式方面的应用.摘 要计算机代数的发展始于20世纪60年代初期。其标志是美国在1961年用表处理语言Lisp所写的第一个自动积分程序SAINT。随后，几个基于Fortran和Lisp的符号计算系统，如PM,MATHLAB,ALPAK等，相继出现。这些早期的系统主要在美国的麻雀理工学院.贝尔实验室和IBM公司研制开发的。现在，已有多种数学软件供我们使用，是我们可以应用计算机软件辅助进行数学包括高等代数的学习.研究.，而不只靠纸笔演算了。软件系统是计算机代数中的算法和应用的桥梁。先进的算法只有通过软件才能在应用中发挥其应有的效力和作用。利用日新月异的计算机硬件和技术所开发的高性能.多功能.简单易用的软件已逐渐是大量的数学研究.教学赫英勇走向机械化.自动化和计算机化。数学软件是指能在现代电子计算机上运行的程序和储存的数据，它们可以用来在计算机上表示和处理数学概念.符号和知识，进行数学计算.推理.编程和绘图数学活动。数学软件是各种算法和策略在特定程序设计语言和计算机硬件上的具体实现。数学软件的种类繁多.功能不一。知识处理软件：TEX/LATEX,MathML。数值计算软件：LAPACK,Matlab。符号计算软件：Maple,Mathematica.绘图与视化软件：AutoCAD, 求解多项式一多项式的介绍1. 多项式的定义定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ⑴ ... ，这里n是非负整数而 ， ， ，...， 都是R中的数。 在多项式⑴中， 叫做零次项或常数项， 叫做一次项，一般， 叫做i次项， 叫做i次项的系数。定义2 若是数环R上两个一元多项式 f(x)和g(x)有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么f(x)和g(x)就说是相等f(x）=g(x)⑵ ... ， 定义3 叫做多项式⑵的最高次项。非负整数n叫做多项式⑵的次数。二多项式的运算根据以上定义，R上两个多项式f(x),g(x)的和.差.积的系数都可以用f(x)和g(x)的系数的和.差.积表示出来。由于f(x)和g(x)的系数都属于数环R，所以它们的和.差.积也都属于R，所以R上两个多项式的和.差.积仍是R上的多项式。1. 加法交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x)2. 加法结合律：(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))3. 乘法交换律：f(x)g(x)=g(x)f(x)4. 乘法结合律：(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))5. 乘法对加法的分配律：f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)三多项式的定理定理1.设f(x)和g(x)是数环R上两个多项式，并且f(x) 0,g(x) 0.那么（i） 当f(x)+g(x) 0时。 (f(x)+g(x)）) max( (f(x)), (g(x)))；（ii） （f(x)g(x)）= (f(x))+ (g(x)).推论1：f(x)g(x)=0必要且只要f(x)和g(x)中至少有一个是零多项式。推论2：若是f(x)g(x)=f(x)h(x),且f(x) 0,那么g(x)=h(x).四多项式的整除性定义 令f(x)和g(x)是数域F上多项式环F[x]的两个多项式。如果存在F[x]的多项式h(x),使 g(x)=f(x)h(x),我们就说，f(x)整除（能除尽）g(x)我们用符号f(x)|g(x)表示f(x)整除g(x)，用符号f(x)| g(x)表示f（x）不能整除g（x）。五多项式整除性的一些基本性质① 如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x).② 如果h(x)|f(x),h(x)|g(x),那么h(x)|(f(x) g(x))③ 如果h(x)|f(x),那么对于F[x]中任意多项式g(x)来说，h(x)|f(x)g(x).④ 如果h(x)| (x),i=1,2,...,t,那么对F[x]中任意 （x），i=1,2，...，t，h(x)|( (x) (x) (x) (x) ... (x) (x))⑤ 零次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任一多项式。⑥ 每一个多项式f(x)都能被cf(x)整除，这里c是F中任一不等于零的数。事实上，f(x)= (cf(x)).⑦ 如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),这里c是F中一个不等于零的数。 Maple的介绍 （1）Maple概略Maple是主要的通用计算机代数系统。它都是流行的商业软件，并且能在多种操作系统下运行。Maple是一个用于解决各种数学问题的高效.交互式.容易使用的通用计算机代数系统.它为科学工作者.工程师.教师和学生提供了一个可以用来处理代数表达式，进行符号与数值计算，用二维和三维图形和动画来视化数学对象的完整数学平台。Maple不仅有非常丰富的函数库，而且提供了高级数学编程语言。它可以在微软视窗.等操作系统下运行。如今，Maple已被广泛用于数学.密码学.控制论.物理学.生物学.商学.经济学和工程技术，是众多高等院校科学和工程实验室的标准科研与教学工具，它的用户遍及全球。（2）Maple计算Maple中有3000多个用于符号与数值计算的函数，它们为解决各种数学问题提供了极大的灵活性。这些函数能进行的计算包括标准的数学运算如整数运算.多项式运算.积分.微分.求和.求积.解方程.级数展开和极限计算等，以及其他专门数学领域中的特殊函数。（3）Maple界面Maple结合了强大的数学计算功能与先进直接的界面。计算.结果.图形和文字在同一份文档中显示，因而可以保存和注解计算步骤，之后还可以编辑修改并直接运行其中的Maple指令。Maple使用标准的数学记号，因此屏幕上显示的数学和我们在书本上看到的数学一样。这使得学生能够很容易地解释和检查所得的表达式。Maple还提供了几种使用鼠标键入和求值表达式的方式。内容敏感的选项单让用户不需学习编程语言的语法.不必记忆指令名称就能使用Maple处理它所产生的数学对象。Maple还集成了NAG的数值计算程序库，并与数值计算软件Matlab有接口。（4）Maple编程除丰富的指令函数外，Maple还提供了一种高级程序设计语言。这种易学易用的语言能让用户通过添加自己的程序来扩充Maple的函数和功能。Maple 求解多项式例1：下面是一个 ，...， 的整系数多项式F= + - - + +3 .不难看出coef(F, )=-1,coef(F, )=0deg(F, )=1,deg(F, )=2,tdeg(F)=3,切F不是齐次的。设 Q= 为任一多项式。定义P与Q的和为P+Q:= ，其中（ ，...， ），...，（ ，...， ）是（ ，...， ），...，（ ，...， ），（ ，...， ），...，（ ，...， ）中所有互不相同的n元组，而 有构造n元组 u=1，...，t；v=1，...，s，并令（ ，...， ），...，（ ，...， ）为它们中所有互不相同者。定义P与Q的积为P•Q:= ，其中 例2：考虑多项式F= +1，G= 关于y，相应的R和Q可如下计算： 由此即得 简化得 符号计算系统的最基本功能是处理符号表达式，多项式则是最基本的符号表达式。从下面的例子中可以看到Maple可以用各种方式处理多项式.三角表达式.指数与对数等数学表达式。>factor(x^4+2*x^3-12*x^2+40*x-64); (x-2)( )>expand((x+1)^5); >simplify(exp(x*(log(y))); >simplify(sin(x)^2+cos(x)^2); 1>expand((x^2-a)^3*(x+b-1)); >expand(cos(4*x)+4*cos(2*x)+3,trig); 8 >combine(4*cos(x)^3,trig); cos(3x)+3cos(x)总结：随着计算机与数学的发展，计算机软件与数学研究已密不可分。无论是maple还是matlab等等，学习数学都将越来越简单化！参考文献：《Maple教程》 何青 王丽芳编著 科学出版社，2006《计算机代数》王东明 夏壁灿 李子明编著清华大学出版社， 2007《Maple经典》何青 王丽芳 袁荣译高等教育出版社， 2002

生活里？？？具体一点。一代数知识是在算术知识的基础上发展起来的，其特点是用字母表示数，使数的概念及其运算法则抽象化和公式化。初中一年级刚接触代数时，学生要经历由算术到代数的过渡，这里的主要标志是由数过渡到字母表示数，这是在小学的数的概念的基础上更高一个层次上的抽象。字母是代表数的，但它不代表某个具体的数，这种一般与特殊的关系正是初一学生学习的困难所在。为了克服初一新生对这一转化而引发的学习障碍，教学中要特别重视“代数初步知识”这一章的教学。它是承小学知识之前，启初中知识之后，开宗明义，搞好中小学数学衔接的重要环节。数学中要把握全章主体内容的深度，从小学学过的用字母表示数的知识入手，尽量用一些字母表示数的实例，自然而然地引出代数式的概念。再讲述如何列代数式表示常见的数量关系，以及代数式的一些初步应用知识。要注意始终以小学所接触过的代数知识（小学没有用“代数”的提法）为基础，对其进行较为系统的归纳与复习，并适当加强提高。使学生感到升入初一就像在小学升级那样自然，从而减小升学感觉的负效应。初一代数的第一堂课，一般不讲课本知识，而是对学生初学代数给予一定的描述、指导。目的是在总体上给学生一个认识，使其粗略了解中学数学的一些情况。如介绍：（1）数学的特点。（2）初中数学学习的特点。（3）初中数学学习展望。（4）中学数学各环节的学习方法，包括预习、听讲、复习、作业和考核等。（5）注意观察、记忆、想象、思维等智力因素与数学学习的关系。（6）动机、意志、性格、兴趣、情感等非智力因素与数学学习的联系。二学生对于数的概念，在小学数学中虽已有过两次扩展，一次是引进数0，一次是引进分数（指正分数）。但学生对数的概念为什么需要扩展，体会不深。而到了初一要引进的新数———负数，与学生日常生活上的联系表面上看不很密切。他们习惯于“升高”、“下降”的这种说法，而现在要把“下降5米”说成“升高负5米”是很不习惯的，为什么要这样说，一时更不易理解。所以使学生认识引进负数的必要是初一数学中首先遇到的一个难点。我们在正式引入负数这一概念前，先把小学数学中的数的知识作一次系统的整理，使学生注意到数的概念是为解决实际问题的需要而逐渐发展的，也是由原有的数集与解决实际问题的矛盾而引发新数集的扩展。即自然数集添进数0→扩大自然数集（非负整数集）添进正分数→算术数集（非负有理数集）添进负整数、负分数→有理数集……。这样就为数系的再一次扩充作好准备。正式引入负数概念时，可以这样处理，例：在小学对运进60吨与运出40吨，增产300千克与减产100千克的意义已很明确了，怎样用一个简单的数把它们的意义全面表示出来呢？从而激发学生的求知欲。再让学生自己举例说明这种相反意义的量在生活中是经常地接触到的，而这种量除了要用小学学过的算术数表示外，还要用一个语句来说明它们的相反的意义。如果取一个量为基准即“0”，并规定其中一种意义的量为“正”的量，与之相反意义的量就为“负”的量。用“＋”表示正，用“－”表示负。这样，逐步引进正、负数的概念，将会有助于学生体会引进新数的必要性。从而在心理产生认同，进而顺利地把数的范畴从小学的算术数扩展到初一的有理数，使学生不至产生巨大的跳跃感。三初一的四则运算是源于小学数学的非负有理数运算而发展到有理数的运算，不仅要计算绝对值，还要首先确定运算符号，这一点学生开始很不适应。在负数的“参算”下往往出现计算上的错误，有理数的混合运算结果的准确率较低，所以，特别需要加强练习。另外，对于运算结果来说，计算的结果也不再像小学那样唯一了。如｜a｜，其结果就应分三种情况讨论。这一变化，对于初一学生来说是比较难接受的，代数式的运算对他们而言是个全新的问题，要正确解决这一难点，必须非常注重，要使学生在正确理解有理数概念的基础上，掌握有理数的运算法则。对运算法则理解越深，运算才能掌握得越好。但是，初一学生的数学基础尚不能透彻理解这些运算法则，所以在处理上要注意设置适当的梯度，逐步加深。有理数的四则运算最终要归结为非负数的运算，因此“绝对值”概念应该是我们教学中必须抓住的关键点。而定义绝对值又要用到“互为相反数”的概念，“数轴”又是讲授这两个概念的基础，一定要注意数形结合，加强直观性，不能急于求成。学生正确掌握、熟练运用绝对值这一概念，是要有一个过程的。在结合实例利用数轴来说明绝对值概念后，还得在练习中逐步加深认识、进行巩固。学生在小学做习题，满足于只是进行计算。而到初一，为了使其能正确理解运算法则，尽量避免计算中的错误，就不能只是满足于得出一个正确答案，应该要求学生每做一步都要想想根据什么，要灵活运用所学知识，以求达到良好的教学效果。这样，不但可以培养学生的运算思维能力，也可使学生逐步养成良好的学习习惯。四进入初中的学生年龄大都是11至12岁，这个年龄段学生的思维正由形象思维向抽象思维过渡。思维的不稳定性以及思维模式的尚未形成，决定了列方程解应用题的学习将是初一学生面临的一个难度非常大的坎。列方程解应用题的教学往往是费力不小，效果不佳。因为学生解题时只习惯小学的思维套用公式，属定势思维，不善于分析、转化和作进一步的深入思考，思路狭窄、呆滞，题目稍有变化就束手无策。初一学生在解应用题时，主要存在三个方面的困难：（1）抓不住相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯用算术解法，对用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系。这头一个方面是主要的，解决了它，另两个方面就都好解决了。所以，小学数学第八册列方程解应用题教学时，一要使学生掌握算术法和代数法的异同点，并讲清列方程解应用题的思路；二要有针对性地让学生加强把实际中的数量关系改写成代数式的训练，这样对小学生逆向思维有好处，使较复杂的应用题化难为易。初一讲授列方程解应用题教学时，要重视知识发生过程。因为数学本身就是一种思维活动，教学中要使学生尽可能参与进去，从而形成和发展具有思维特点的智力结构。要让学生始终参加审题、分析题意、列方程、解方程等活动，了解列方程解应用题的实际意义和解题方法及优越性，这其中审题应是最为关键的一环。要想法弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。找不出相等关系，方程就列不出来，而找出这样的等量关系后，将其中涉及的待求的某个数设为未知数，其余的量用已知数或含有已知数与未知数的代数式表示出来，方程就列出来了。要教会学生通过阅读题目、理解题意、进而找出等量关系、列出方程解决问题的方法，使之形成“观察———分析———归纳”的良好习惯，这对于整个数学的学习都是至关重要的。另外，在教学中还要告诉学生，有些问题用算术法解决是不方便的，只有用代数解法。对于某些典型题目在帮助学生用代数方法解出后，同时与算术解法作比较，使学生有个更清晰的认识，从而逐渐摒弃用算术解法做应用题的思维习惯。总之，学生在小学数学中接触的都是较为直观、简单的基础知识，而升入初一后，要学的知识在抽象性、严密性上都有一个飞跃，作为初一数学教师，认真分析研究有关问题，对搞好中小学数学课堂教学的衔接和提高教学质量有很大的现实意义

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